Cinemática de un solido rigido

     La Cinemática de un solido rígido

“La cinemática es la parte de la mecánica que estudia los movimientos independientes de las causas que los producen”.

El problema fundamental de la cinemática consiste en describir y predecir el movimiento futuro, determinar posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo, condicionados a las características del problema, lo que analíticamente equivale a obtener relaciones del tipo F (X, Y, Z, T)=0. La cinemática estudia cómo se mueven las partículas. Describe como varían la velocidad y la aceleración de un cuerpo con el tiempo y con sus cambios

Un sólido rígido es un cuerpo formado por varias partículas materiales que pueden numerarse y que guardan distancias constantes entre sí. Se trata de un modelo, una abstracción de la realidad que resulta útil para estudiar ciertos tipos de cuerpos en aquellos casos en los que no podemos suponer que toda su masa se concentra  en un único punto.

La materia se organiza formando una estructura en las que las masas se concentran en ciertos puntos del espacio, unidos por enlaces eléctricos que hacen las veces de fuerzas de cohesión. Cuando estas fuerzas son suficientemente fuertes, las estructuras formadas se asemejan a un sólido rígido ideal. Cuando se hace mención que las fuerzas interiores de cohesión de las partículas que forman el sólido son fuertes se quiere decir que  los cuerpos son indeformables. Estas fuerzas de cohesión se anulan dos a dos por la tercera ley de la dinámica y por ello no es necesario tenerlas en cuenta a la hora de resolver cualquier problema, sin embargo, es importante recordar que, gracias a ellas, la forma del sólido se mantiene constante incluso bajo la acción de fuerzas externas altas.

Estas fuerzas pueden hacer que el sólido se mueva (se traslade o rote), pero, idealmente, nunca se deformará.

 sólidos rígidos

Solido rígido discretos:  








La imagen muestra todas y cada una de las partículas se pueden observar claramente, la masa de las uniones es inexistente o despreciable y se representa únicamente para indicar que las distancias mutuas entre partículas permanecen constantes.

Sólido rígido continuo:

La imagen muestra los cuerpos de la figura se podrían estudiar como sólidos rígidos continuos pues ninguna de sus partículas se pueden observar y se disponen formando un continuo.

Movimientos del solido rígido

El movimiento de un sólido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.

1      Movimiento de traslación

        Es el movimiento más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Y se puede decir que un sólido rígido se encuentra animado por este tipo de movimiento cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento.

       

         

       Se puede considerar que la imagen está animado por un movimiento de traslación. El vector r_ij = r_i-r_j debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un vector constante, se puede escribir:

r i − r j = c

Y derivando con respecto al tiempo:

r i − r j = 0 ⇒ v i = v j 

El movimiento de traslación puede ser rectilíneo y/o curvilíneo

Supongamos que cada uno de los puntos del sólido de la imagen recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). 

Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoria circular. Se le conoce como trayectoria curvilínea 

Es importante destacar cuando un solido rígido efectúa una traslación bien sea rectilínea o curvilínea, en cada instante los vectores velocidad y aceleración, son los mismos para todas las partículas del solido

  Movimiento de rotación

 Como la imagen lo muestra el movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular ω , que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Y se puede decir que un  sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El movimiento de un sólido se puede estudiar como la composición del movimiento de traslación de su centro de masas con respecto al origen del sistema de referencia y la rotación del sólido con respecto a un eje que pasa por el centro de masas.

Por ejemplo:

Un bolo es lanzado durante su vuelo describe un movimiento complejo, en el que gira y al mismo tiempo va desplazándose hacia la derecha. Como el sólido es un sistema de partículas, podemos calcular la aceleración de su centro de masas utilizando la segunda ley de Newton. Las únicas fuerzas externas que actúan sobre él (despreciando el rozamiento) son los pesos de las partículas que lo constituyen y, por tanto, la aceleración de su centro de masas viene dada por:

Es decir, el centro de masas del sólido se mueve como un punto de masa igual a la masa total del sistema lanzada al aire. Por tanto, describe un movimiento parabólico. Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a un sistema de partículas podemos describir el movimiento de traslación del centro de masas de un sólido rígido.

Sin embargo, además del movimiento de traslación de su centro de masas, el sólido también realiza una serie de giros. Por ende se debe  encontrar otra ecuación que  permita analizar la parte rotacional del movimiento.

   

Momento angular de un sólido rígido

Consideremos un sólido de forma arbitraria que rota con velocidad angular ω con respecto a un eje Z que, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial, tal y como se muestra en la siguiente figura:

Cada partícula del sólido describe un movimiento circular con velocidad angular ω y su momento angular calculado con respecto al origen O viene dado por:

El momento angular del sólido con respecto a O es simplemente el momento angular de un sistema de partículas, es decir, la suma de los momentos angulares de todas las partículas del sistema. Como se observara a continuación, es más interesante calcular la proyección del momento angular de la partícula sobre el eje de giro, que viene dada por:

De las figuras anteriores se deduce que el radio de giro (Ri) de la partícula i-ésima del sólido y la velocidad lineal de dicha partícula son respectivamente:

Se sustituye en la ecuación anterior, la proyección del momento angular de la partícula i-ésima sobre el eje de giro y queda:

La proyección del momento angular del sólido rígido sobre el eje de giro Lz será la suma de las proyecciones de todas las partículas del sólido sobre dicho eje:

El sumatorio que aparece en la ecuación anterior es el momento de inercia I del sólido con respecto al eje de giro. Veremos su significado físico cuando obtengamos la ecuación del movimiento de rotación de un sólido. Sus unidades en el Sistema Internacional son kg m2, y se define:

Finalmente, la proyección del vector momento angular del sólido es:

En el siguiente ejemplo se analiza el movimiento de rotación de una puerta utilizando la ecuación del movimiento de rotación.

para abrirla aplicamos la fuerza directamente sobre la bisagra, la puerta no se abrirá, ya que en este caso:

Para que la puerta se abra es necesario aplicar la fuerza a una cierta distancia de la bisagra, puesto que de este modo:

Cuanto mayor sea el módulo de r mayor será el momento de la fuerza F y por tanto mayor será la aceleración angular. Si la fuerza se aplica en una dirección paralela al vector r la puerta no se abrirá, ya que en este caso el momento de la fuerza será nulo y no habrá aceleración angular.

Cuando el eje de rotación de un sólido no está fijo, su movimiento será una combinación de rotación y traslación. En este caso, para describir el movimiento son necesarias las siguientes ecuaciones:

 La primera para calcular la aceleración de centro de masas la cual es:

Y la segunda es la ecuación del movimiento de rotación pero referida al centro de masas del sólido. Y para obtener esta ecuación hay que derivar el momento angular interno del sólido, obteniendo:

donde la prima (') denota que los momentos de las fuerzas externas están calculados con respecto al centro de masas, y α' es la aceleración angular del sólido con respecto a un eje que pasa por el centro de masas.

Para  analizar el movimiento de un sólido rígido se utilizan las siguientes formulas:

Traslación 

Rotación 

Momento de Inercia

El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:

El momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:

Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo.

El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral:

dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo.

Cálculo de momentos de inercia

Como ejemplo, calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

Integrando:

Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es:

        Energía cinética

La energía cinética de un sistema es la suma de la energía cinética de las partículas que lo forman. Cuando un sólido rígido gira en torno a un eje que pasa por su centro de masas las partículas describen un movimiento circular en torno a dicho eje con una velocidad lineal distinta según sea la distancia de la partícula al eje de giro pero todas giran con la misma velocidad angular ω, ya que en caso contrario el sólido se deformaría. La relación entre ambas velocidades aparece en la figura siguiente:

La energía cinética del sólido causada por el movimiento de rotación será entonces:

El sumatorio es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación, luego:

Esta energía corresponde a la energía cinética interna, ya que está referida al centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a un origen, la energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación y la de traslación del centro de masas (energía cinética orbital):